Nova Roupagem com Números de Táxis

É. Afirmativamente, é.
O hábito não faz o monge, mas uma roupinha conforme a ocasião, é sinal de bom-gosto e de preocupação social.
Então aqui estamos, estilo casual (mas com pronúncia à inglesa) mesmo sem ser à sexta-feira, adjectivada de chique. Cores suaves e mornas, como manda a época.

Retomo assim estas conversetas, passados uns anos de silêncio, melhor dizendo, de meditação.
Sim, que isto dos números dá que pensar.

Conversa entre dois amigos, que sendo matemáticos, têm sempre uma visão mais "elaborada" das coisas simples:
Mr. Hardy - Vim para cá no táxi número 1729. Número estranho, espero que não seja um infeliz presságio.
Mr. Ramanujan - Pelo contrário, é um número muito interessante! É o mais pequeno número exprimível como uma soma de dois cubos de duas maneiras diferentes.

Se dúvidas surgirem, 1729 é o número inteiro imediatamente a seguir a 1728 e também imediatamente anterior a 1730.

Aqui fica a tentativa de bulir consigo.

${\displaystyle 1729=12^{3}+1^{3}=10^{3}+9^{3}\,}$

Um Milhão! É muito ou pouco?

É trivial falar de milhões. Os prémios fabulosos, a dívida pública, a população mundial, são alguns exemplos que frequentemente nos tocam os sentidos. Milhões e mais milhões.

Como conseguiremos visualizar tantos elementos? Temos a noção de serem muitos (pessoas, euros, etc.), mas quão grande será um conjunto desses? Que espaço é necessário para o guardar? Que tempo demora a contar?

Já vimos por aqui (nos textos sobre o Xadrez), como alguns números são extremamente grandes. Embora o homem nem sempre se tenha preocupado com tantos …ões (lembremo-nos dos poucos símbolos da numeração romana - sem o zero). Qual terá sido o maior valor que alguma vez os romanos precisaram de representar? Ou os gregos? Arquimedes de Siracusa (287-212 aC) ainda pensou na quantidade de grãos de areia necessários para encher a esfera do universo, ou seja, uma gigantíssima esfera imaginária com centro no centro da terra e um raio igual à distância entre os centros da Terra e do Sol! Ele até imaginou que tal quantidade de grãos de areia seria inferior a 80x10¹⁶(!!!).

E atualmente?

Temos noção de quantos somos no mundo, da idade da Terra, das distâncias no Universo.

Se pensarmos em pessoas, em muitas pessoas, como por exemplo uma manifestação a confluir no Terreiro do Paço. Quantas pessoas são necessárias para pre(encher) esta praça? E quantas lá cabem? Uma multidão cujo número de elementos será sempre diferente, consoante a perspetiva do contabilista. Considerando que a praça tem 36.000 m², deixo ao leitor o desafio de avançar com os números, lembrando que já foram reivindicados 500.000, contestando outros com 130.000 para a mesma manifestação.

Alguns exemplos são mais facilmente percetíveis, como o atual Estádio da Luz. Comporta 65.647 lugares sentados. Se esses espetadores descessem para o relvado, será que se acomodariam? Como?

Este relvado não respeita a habitual equivalência com o hectare (10.000m²), medindo 105m de comprimento por 65m de largura, a sua área é apenas 7.140m². Se fosse para assistir a um concerto (em que a assistência não dançasse muito) poderíamos pensar numa ocupação da ordem das 4 pessoas por metro quadrado, cabendo assim apenas umas 28.560. Se se adotasse uma formação militar (para desfile) em que é habitual uma concentração da ordem das 6 pessoas por metro quadrado, poderia acomodar umas 42.840, deixando mais de 22.000 sem espaço nas quatro linhas!

Para que todos espetadores se pudessem acomodar dentro dos limites do relvado implicaria uma concentração superior a 9 pessoas por metro quadrado, o que daria um aperto maior do que nas carruagens do metro de S. Paulo, em hora de ponta!

O Estádio da Luz lotado é já muita gente, mas o milhão ainda fica longe, mesmo muito longe, destes sessenta e cinco mil e tal.
E se deixarmos as pessoas e nos focarmos noutras cenas que também fazem parte da nossa vida?

Terá paciência para contar os grãos de arroz no seu prato? Cada grama de arroz contém, em média, 50 grãos. Como a avó costuma usar cerca de 50 gramas de arroz por pessoa, então o seu prato deve ter, aproximadamente, 2500 grãos!!!

Se tiver mesmo muita paciência, pode tentar comprovar que um quilo de arroz há de ter qualquer coisa como uns 50.000 grãos. Decorre ainda que para reunir um milhão de grãos terá de carregar com 20 quilos deste cereal!
Um pouco diferentes são os grãos de feijão frade. Maiores e mais pesados que o arroz, bastam 3.150 grãos para pesar um quilo e para arrecadar um milhão destes feijões, terá de considerar 317,5 kg, aproximadamente.

Este tema pode ser muito interessante ou pouco interessante, dependendo de como cada um encara os números, ou os grandes números.
Mas deixe-me colocar ao leitor duas perguntas!

Sabe contar até um milhão?

Estará disposto (e terá vagar) para fazer essa contagem?

À primeira questão responderá que sim, com toda a naturalidade pois há muitos anos que aprendeu a contar no sistema decimal, conhece-lhe as regras, usa-o duma forma automática. Sim, com toda a certeza que é capaz de contar até um milhão?

Já para a segunda questão, coisa estranha: então será necessário assim tanto tempo para fazer a dita contagem?

Vamos ver: tem que pensar, fazer mentalmente a operação de somar um, construir as palavras que indicam cada um dos números e explicitá-las, digamos que, em média (por baixo) vai demorar um segundo para cada número. É fácil perceber que necessita de um milhão de segundos para contar até um milhão!!!

E quanto tempo é um milhão de segundos? Pois façam lá as continhas para confirmar as minhas a ver se não chegamos a qualquer coisa como 11 dias, 13 horas, 46 minutos e 40 segundos.

Aceita o desafio da contagem?!

TetraFilia

Há números e… números! Há números muito grandes e há outros, tão somente, grandes números.

Há fobias e… filias!

Esta Tetrafilia revela-se aqui como a outra face da Tetrafobia. A sorte e o azar, num jogo de soma nula.

Segundo a numerologia, coisa sempre muito conveniente e convincente por e a quem a cita, a cada número a sua chave, o seu estigma, um oráculo, um presságio, um significado. Dos mais antigos que se conhecem, a Escola Pitagórica afirma que o Universo é harmonia e número, e os números são elementos pertencentes a todas as coisas que existem e todas as coisas são números. As propriedades numéricas estão presentes nos céus. Alguns números são masculinos e outros femininos, uns são amigos e outros malvados, outros ainda podem trazer a sorte ou o azar. Têm uma espiritualidade os números e a cada um a sua simbologia.

Deste modo, o número Quatro simbolizava a lei universal, a justiça, a chave da natureza e do homem. Outros lhe atribuíam diferentes significados, considerando ainda se o quatro se apresentava sozinho ou acompanhado, formando grupos.

Olhemos então para esse número quatro, em grupo, numa perspetiva “poética” apaixonante e emocionante.

4444

"Tome-se um quatro,

E outro quatro, e outro, e ainda mais outro;

São já quatro esses quatros!

Escravos meus, obedientes, prontos,

Expetantes na minha calculadora.

…

E quando os outros algarismos, tontos,

Se volatilizam, inúteis,

É com este grupo de quatro quatros,

E com operações, cinco ou seis,

Que eu vou contar até ao 116!!!”

Por IV, futuro poeta numérico

Comecemos com os primeiros até dez:

Hoje ficamos por aqui. Deixo no entanto o desafio:

Procura mais alguns e manda-mos como comentário!

Xadrez: Outros Grandes Números!

Já vimos na última publicação (post), a lenda da sua criação, que seriam necessários mais grãos de trigo para a recompensa pela sua invenção do que todo o trigo do mundo. Tanto, tanto, que poderia cobrir toda a Índia com uma camada de cerca de uma polegada de espessura. Esse número, com vinte algarismos, é o seguinte:

18.446.744.073.709.551.615

(18 triliões, 446 mil biliões, 744 biliões, 73 mil milhões, 709 milhões, 551 mil e 615 grãos)

Mas quando começamos a jogar, é surpreendente a variedade de jogadas possível, continuando no mundo dos números astronómicos.

Por exemplo, e para começar, a primeira jogada (das brancas): podem começar por um peão qualquer, e ainda assim, esse pode avançar uma ou duas casas, o que só por si faz 16 hipóteses possíveis; como também podem escolher jogar os cavalos, neste momento de abertura apenas com dois movimentos diferentes cada um, são mais quatro jogadas; daí perfazer 20 movimentos diferentes possíveis.

A resposta das pretas pode, igualmente, ser de 20 movimentos diferentes (por cada uma das diferentes opções das brancas).

Assim, só para as duas primeiras jogadas, podem ser registados 400 movimentos diferentes (20 das brancas x 20 das pretas).

Estes números crescem duma forma impressionante.

Os 10 primeiros lances podem ser jogados de 169.518.829.100.544, ou seja, 169 biliões, 518 mil milhões, 829 milhões, 100 mil e 544 maneiras diferentes.

Dentre vários estudos efectuados sobre a explosão combinatória deste jogo, o grande matemático Claude Shannon (1916-2001) calculou em 1950 que uma partida de Xadrez, tendo uma duração média de 40 jogadas em que cada jogador pode dispor (também em média) de 30 movimentos para cada lance, poderá permitir um número partidas diferentes tão elevado como (30 x 30)⁴⁰ ou seja 900⁴⁰.

Este número é aproximadamente igual a 10¹²⁰, ou seja, 1 seguido de 120 zeros e é conhecido como o Número de Shannon.
Esta estimativa da complexidade de um jogo de xadrez é atualmente admitida como 10¹²³.

Comparando com o Universo:

O número de átomos de todo o Universo é estimado entre 4x10⁷⁸ e 6x10⁷⁹.

Supõe-se que o Universo existe há cerca de 13 mil milhões de anos, ou doutra forma 13,73x10⁹, ou ainda 1,373x10¹⁰, ou melhor, 13.730.000.000 anos.

Exprimindo este valor em segundos dará qualquer coisa como 4,1x10¹⁵, mais precisamente

410 248 800 000 000 (410 mil biliões, 248 biliões, e 800 mil milhões) de segundos

Estima-se ainda que a nossa galáxia, a Via Láctea, tenha apenas 2x10⁹ (200 mil milhões) de estrelas, número este que se usa com a designação de astronómico!

Ora todas estas gigantescas grandezas são consideravelmente inferiores ao número de diferentes partidas de Xadrez com uma média de 40 jogadas cada um!!!

O Tabuleiro de Xadrez

O Xadrez é um jogo de tabuleiro que se joga há muitos séculos e com inúmeros apaixonados em todo o planeta. A ação desenvolve-se num campo de batalha onde intervêm dois exércitos. É um jogo de estratégia que exige uma grande concentração e muito estudo, não dispensando a vivência de grande número de experiências, para desenvolver a eficácia.

O brâmane indiano Lahur Sessa criando o Chaturanga

(Thiago Cruz, 2007).

Subsistem ainda dúvidas quanto à sua origem, mas prevalece a teoria que aponta para a Índia como a terra da sua criação, por volta do século VI. Recebeu o nome de Chaturanga, palavra que designa quatro partes do exército indiano – bigas, elefantes, cavalaria e infantaria. Mais tarde, com a ocidentalização do jogo, foram substituídas algumas das peças mas mantêm ainda correspondência com as originais: as bigas ou carros são representados pelos Bispos, as Torres representam os elefantes, os Cavalos e os Peões, naturalmente são a cavalaria e a infantaria; o Rei, a peça mais importante, é o rajá, e a segunda peça mais poderosa, a Rainha, representa o vizir.

Foi tão grande o fascínio que o jogo suscitou (e suscita) que não podia deixar de originar várias histórias ou lendas. Tendo este jogo uma grande ligação com a matemática, esta aparece desde logo numa das mais interessantes lendas, precisamente sobre o Tabuleiro, um “campo de batalha” em forma de quadrado, dividido em 64 (8x8) pequenos quadrados brancos e negros.

Assim, conta a lenda que…

Naquele tempo, estava o rajá Balhait da província indiana de Taligana muito triste devido à perda do seu filho numa batalha, e eram infrutíferas as inúmeras tentativas que os seus súbditos faziam para o animar. Com tão grande depressão o rajá tornou-se pouco cuidadoso com a gestão do seu reino.

Então um brâmane de nome Lahur Sessa visitou o rajá para lhe apresentar um novo jogo que motivaria e confortaria o seu senhor. Era um jogo de guerra, por ser a actividade onde é de suprema importância a sabedoria, a persistência, a decisão e a coragem.

O rajá ficou muito entusiasmado com o jogo e acabou por recuperar todas as suas capacidades. Consciente que a sua “cura” se devera ao novo jogo, desejou compensar Sessa. Chamou-o e disse-lhe para escolher tudo o que desejasse, pois o bem que lhe fizera não tinha preço.

O “modesto” Lahur Sessa respondeu-lhe que não queria grandes riquezas. Contentar-se-ia com um simbólico pagamento em grãos de trigo sobre o tabuleiro. Explicou: 1 grão sobre o primeiro quadrado, mais 2 grãos sobre o segundo quadrado, mais 4 grãos sobre o terceiro, mais 8 grãos sobre o quarto e assim sucessivamente, sempre duplicando, até ao sexagésimo quarto.

1	2	4	8	16	32	64	etc

O rajá considerou insignificante o pedido de Sessa e insistiu para que este escolhesse uma recompensa mais adequada e valiosa, tendo em conta o bem que lhe fizera. Mas Sessa foi irredutível, desejando apenas a recompensa pedida.

O rajá mandou então entregar a Sessa um saco de trigo, na convicção que seria mais do que suficiente para o pagamento. Mas Sessa recusou, alegando não querer nem um grão a mais, nem um grão a menos do que a quantidade que pedia.

Chamou o rajá os seus matemáticos para que calculassem o número de grãos de trigo para entregar a Sessa.

Estes calcularam, calcularam, calcularam e… concluíram não haver nos celeiros de toda a Índia trigo suficiente para atingir tal quantidade! Nem todo o trigo do mundo seria bastante!

O número, com vinte algarismos, é o seguinte:

18.446.744.073.709.551.615

(18 triliões, 446 mil biliões, 744 biliões, 73 mil milhões, 709 milhões, 551 mil e 615 grãos)

correspondendo à soma dos termos da sequência das potências de 2 desde 2⁰ até 2⁶³, o que vem a ser o mesmo que (2x2x2x2x…x2x2x2), 64 vezes, ao que se subtrai 1.

Ficou preocupado o rajá, cofiando as tranças das suas barbas. Aquele Lahur Sessa era mais esperto do que parecia, mesmo muito esperto! Como cumprir o prometido?

Tranquilizou-o Sessa, dizendo que já sabia ser impossível pagar a sua recompensa, pois tal quantidade de trigo daria para cobrir toda a superfície da Índia com uma camada de quase uma polegada de espessura!

Reconhecendo a inteligência de Sessa, o rajá nomeou-o seu principal vizir.

E agora com um final diferente…

O rajá subavaliou a inteligência de Sessa ao mesmo tempo que sobreavaliou a sua riqueza. Mas o jogo fizera-lhe bem! Ele era afinal, um homem muitíssimo inteligente e não podia permitir que Sessa o superasse. Teve uma ideia brilhante e reuniu os sábios da sua corte. Rapidamente, mesmo com um rudimentar ábaco, efectuaram os cálculos necessários. Com efeito os celeiros do reino não dispunham de tão grande quantidade de trigo, mas isso ia deixar e ser um problema.

Em vez e nomear Sessa seu mais poderoso vizir o rei mandou chamá-lo para liquidar a recompensa e disse-lhe:

- Pois bem, Sessa, acho que mereces a devida retribuição pela criação do Chaturanga, portanto, dirige-te aos celeiros e podes começar a contar o trigo que pediste!

Sessa empalideceu. O seu coração acelerou e o seu cérebro fervilhou. Evocou todas as suas forças para se controlar. Como efeito ou não do seu jogo, o rajá recuperara a sua boa condição de decisor!

- Tenho de declinar a tua oferta, afinal eu sou mesmo um homem modesto e dispenso tão grande quantidade de cereal. Ficarei muito satisfeito apenas com o cargo que me propuseste antes.

E assim, conta a lenda, teve a invenção do Chaturanga um outro desfecho! Ambos os homens se confrontaram inteligentemente, embora fora do tabuleiro, porém sobre a sua matemática.

O que estaria escondido na proposta do rajá que Sessa tão prontamente recusou?

Pois se Sessa se pusesse a contar os grãos, não excederia a velocidade (média) de um grão por segundo, o que significa que, num único dia, continuamente e sem interrupções, teria contado 86.400 grãos. Contar um milhão levar-lhe-ia mais de dez dias de contagem contínua. Só para um metro cúbico (um contentor em forma de cubo com um metro de aresta, equivalente a mil litros) que contém aproximadamente quinze milhões de grãos, necessitaria de cerca de meio ano de trabalho contínuo de contagem.

Rapidamente Sessa concluiu que não teria tempo de vida suficiente para contar todos os grãos da sua recompensa.

Bibliografia:

Enzensberger, Hans Magnus, (1997). El Diablo de los Números. Madrid: Ediciones Siruela

Paulos, J. Allen, (1991). Inumerismo. Lisboa: Publicações Europa-América

Paulos, J. Allen, (1993). O Circo da Matemática, para além do inumerismo. Lisboa: Publicações Europa-América

Perelman, Y. I. , (1989). Álgebra Recreativa. Moscovo: Editora MIR

Perelman, Y. I. , (1979). Matemáticas Recreativas. Moscovo: Editorial MIR